法界虚空的梦幻圆舞曲——打开科学宝库最后一道门的佛法钥匙(中)

多伦多慧灯禅修班  吴晨

2

南葵内色南跨刚瓦耶,喇嘛耶丹宽珠措南当,

桑吉秋当帕波根登拉,达当卓哲给贝嘉森且。

一切有为法,如梦幻泡影,

如露亦如电,应作如是观。

心鹫终究必飞翔,今要越险定日瓦!

(续上)

四、“寒潭度鹤影”:离一多因的数学证明 

1

要打开科学宝库的最后一道门,我们不能仅仅用佛法自己的语言来抉择。我们还需要把佛法的语言,翻译成自然科学的语言,即使这样的翻译会让人担心有些生硬。

佛法的理性精神和科学的理性精神同根同源,都源自对大自然奥秘的理性探索,都遵循因果律和逻辑推理。这一点给予我们信心,对佛法和科学之间的翻译工作持有乐观的态度。

带着“离一多因”满满的灵感,我们开始启程,寻找“离一多因”投射在自然科学中的“寒塘鹤影”。

在这项颇具开拓性的工作中,我的孩子Peter给了我许多许多灵感。一个重要的灵感,来自Peter在小学时的课外学习:计算机编程。

在计算机算法中,有一个基本的算法,叫“回溯法”。

它是一种有次序的穷举方法。比较典型的题目,就是走迷宫。为了走出迷宫,我们从起点出发,每到一个岔路口,就标记上(1), 然后选择一个路口往前探索,到了下一个岔路口时,再标记(2)。然后再选择其中一个继续探索。探索的原则是“深度优先搜索”法。如果走通了,就是有解。如果此路不通,就回头穷尽其他的可能性。

“回溯法”的一个重要思路是:当我们在某一个方向上始终走不通的时候,我们必须回到之前的假设上,换一个可能性,重新探索。如果还不行,则要回到更前的假设上,探索其他可能性。

“回溯法”是自然科学史上最重要的方法。从伽利略,到爱因斯坦和玻尔;从希帕索斯到康托尔;科学史上每一次划时代的新发现或者新理论,都是回到基本的假设上,推翻似乎那么不容置疑的“常识”,换一个可能性进行探索,只要它在逻辑上合理和自洽。

由于每一次重大的回溯,都是进入一条完全崭新的路,所以,每一次重大的回溯,都会带来一次潮涌般的变革。从未走过的新路上,各种新景色让人眼花缭乱。

回溯法最大的障碍,是人们顽固的“常识”,即成见。为了打破成见,我们必须勇敢地提醒自己福尔摩斯那个非常经典又富有哲理性的话:“我的方法,就建立在这样一种假设上面:当你把一切不可能的结论都排除之后,那剩下的,不管多么离奇,也必然是事实。”(《新探案.皮肤变白的军人》)”

数学三大危机,已经非常明显地告诉人们,最基本的矛盾,在最初的假设上;所以,必须利用回溯法解决问题,固执地按照旧的方向往前,只能迷失在越来越复杂细化的死胡同里。

2

借助“回溯法”的灵感,我们向源头回溯。那么,我们应该回到哪里去呢?回到微积分!回到牛顿,莱布尼茨和贝克莱的那个时代!

牛顿和莱布尼茨的微积分里,隐含着一个假设:

Δx = 0 并且 Δx≠ 0

   这个假设为数学带来的红利简直难以衡量。如果把这个假设拿走,我们今天的数学体系,工程学,物理学,都会因为抽掉了最重要的一根龙骨而彻底坍塌。这一坍塌的名单,还不止于此,会很长很长。

    但是,这个假设,却完全违背我们的常识。而且违背的,是我们最最原始的常识。显然,这是一个堪称“天字第一号”的矛盾。

但是“看似”矛盾,并不真的一定矛盾。就像数学史上,康托尔发现“一个平面上的所有点,都可以和一条直线上的所有点,建立一一对应关系”;就像相对论中,爱因斯坦发现空间和时间都不是绝对的。就像量子力学史上,海森堡发现p+q≠q+p(即“测不准”定理)。这些“看似”矛盾的背后,都隐藏着惊人的秘密。在逻辑理性和直觉经验(成见)的交锋中,理性都取得了最后的胜利。

所以,我们要敢于去面对和推敲这个隐含的假设。如果我们用理性推演的结果非常可靠,那么不管它多么违反我们的常识,我们也要敢于去揭开它的面纱,了解面纱背后的真正涵义!

  Δx = 0 并且 Δx≠ 0

  那么,这个“荒谬”的假设背后,有什么不为人知的奥秘隐藏其中?我们知道,微积分的应用非常广泛,而且取得了极其辉煌的战绩,这说明,牛顿微积分运算中的这个最基本的看似“荒谬”的假设,一定蕴含着深刻的合理性。

自“贝克莱悖论”提出之后,人们一直在苦苦寻找线索,以期解决这件头疼的事情。在前面的分析中,我们已经解释过,柯西的极限概念,和康托尔的“集合论”,其实都是在转移问题,是一种“鸵鸟政策”,并没有解决问题。

    现在,是时候揭开面纱看看了。

长期以来,人们认为Δx≠ 0才是真实的,Δx = 0只是为了计算需要的一个假借。但是,人们的常识是不可靠的,应该让数理逻辑来说话。

这一点,康托尔集合是最好的“现身说法”。今天的数学界,毋庸置疑,康托尔集合已经完美地解决了微积分的数学矛盾。(这一点,我们已经提出了对其致命的诘问。)

而康托尔用的办法,就是引入无穷集。这一方法的一个衍生成果,就是发现,一个面上的所有点,都可以和一根直线上的所有点一一对应。也就是说,一个面上的点的数量,和一条直线上的点的数量,是完全一致的。这是数理逻辑的结论,是完全违背人们直觉和经验的极其“荒谬”的事。但是最后,人们信奉了数理逻辑,抛弃了自己的直觉和经验。

既然,为了试图证明“微积分的数学矛盾不成立”,人们愿意抛弃自己的直觉和经验,选择相信逻辑理性。那为什么不能勇敢地直接面对微积分的数学矛盾?在这一数学矛盾前,为什么我们不能同样抛弃自己的直觉和经验,依赖理性来寻找答案呢?

3

下面,让我们从几个不同角度考察。看看,微积分中隐含的这个“荒谬”的假设“Δx = 0 并且 Δx≠ 0”究竟只是一个错谬的假设,还是数理逻辑推演的确定不疑的结论。

以下的所有证明的灵感,源头都要“回溯”到几年以前,我的孩子Peter在小学四年级时和奥数老师的一次争论。那时,刚开始学奥数的Peter提出了一个非常“叛逆”的观点:无理数不存在。他为此和奥数老师争得面红耳赤。

后来,在我开始认真思考这一课题并着手证明的时候,Peter依然是我所有灵感的主要来源。不仅如此,他还参与了我的这项证明工作。我们曾经合作,把我们的部分成果,整理成一篇小论文,以他的名义投稿到一次奥数征文比赛。当然,从此杳无音信。

那篇小论文的题目是:“无理数不存在的证明”。此后由于各种机缘,这篇文字曾经被Peter的数学老师等人,以不同版本发给过南京师大的几位数学博导,清华大学物理系的博导。甚至还曾经发给了扎克伯格的数学老师,美国奥数国家队的教练冯祖明先生。

除了预料之中的置之不理,Peter居然也意外地收获过一些充满爱才之心的鼓励,这让我们心存感激。

考虑到“Peter”是一个朗朗上口亲切简洁的昵称,考虑到Peter起到的关键作用,我把下面这些证明方法,称为“Peter证明”,以寄托我对家人的思念。

4

Peter的第一证明:

(1)9/9=1

(2)1-9/9=1-1=0

(3) 1/9=0.1111… 这是一个末尾为1的无限循环小数。

   2/9=0.2222… 这是一个末尾为2的无限循环小数。

   以此类推,9/9=1/9 * 9 =0.999… 这是一个末尾为9的无限循环小数。

(4) 关键时刻来了:

   1- 0.999… = ?

   是的,答案就是微积分中那个无限逼近于零,又不能等于零的增量Δx。即“微分”。

(5)回到Peter的第一证明中:

1-9/9=Δx=0

又Δx是一个增量。“增量”的定义意味着“大于零”,否则就不是“增量”了。所以:Δx≠ 0

所以,我们得到了最后的结论,即隐含在微积分中的那个著名假设:

Δx = 0 并且 Δx≠ 0

这是一个严格的数学推演得到的结论。按照自然科学史的习惯称呼,它是一个“定理”。

如果对以上证明的过程仔细观察,我们还可以得到这个“定理”的另外一个衍生公式:0=1

获得衍生公式的方法是这样的:

1-0.9999… = 0.000..(1)

在小数点的后面,跟着无穷多个零。但是,最后(如果有最后的话),必须出现一个1。这个结尾处的“1”,就是极微(微分),或无穷小,即Δx。

又:1-0.999.. = 1-9/9 = 0 = 0.000..(0) 结尾为零。

所以:0.000..(0)= 0.000..(1)

所以:截取左右两边的结尾,得到 0=1

我们曾经认为,这个结尾的1,永远找不到,因为小数位是无限拓展下去的。于此同时,我们又隐隐约约意识到:结尾的这个1应该而且必须存在,否则宏观世界就会变得虚无缥缈。

我们的宏观世界,就在这个非常模糊的观念中,像时钟一样继续“非常优雅非常逻辑”地走下去。只有极少数喜欢“刨根问底”的人,才隐隐约约猜到,所有的高楼大厦,其实都是建立在“0”的基础上,其实都是海市蜃楼。

    这是一个可以载入史册的时刻。

从此,这个微积分中羞答答难以启齿的“让人头疼”的假设,这个贝克莱当做“荒谬矛盾之事”提出的悖论,在受到几百年不公正的排斥之后,现在终于获得了公正的待遇,以科学史上最重要最灿烂的一个定理的身份,迈进自然科学史的殿堂,而且坐在了中间那个最神圣的王位上。

在此历史性时刻,为了和历史上的所有排斥和“诽谤”之说加以区分,为了尊重它应有的尊贵身份,为了彰显来自佛法智慧的灵感加持,也为了将来的人们更深刻地揭示它的甚深涵义和无穷奥妙,我们需要对它进行命名,也必须这样做。

我把这个定理,称为“Peter定理”,以寄托我对万里之外天各一方隔着半个地球的12个小时时差的孩子和家人缕缕不绝的无限思念。

让我们重温一下Peter定理的数学表达式:

Δx = 0 并且 Δx≠ 0 (其衍生公式为:0=1)

根据Peter定理的数学特性,我还给Peter定理取了一个很学术的名字:“零非零二相性”。

我想,这应该就是冯.诺依曼等量子力学家和数学家们一直试图寻找却屡屡失败的“波粒二相性”的数学等价公式。

Peter定理的背后,其实就是佛法的“离一多因”。Peter定理是“离一多因”在数学世界投射的那个“寒塘鹤影”。

5

当然,质疑和批驳的声音立刻就会如惊涛骇浪,淹没这只大海中的一叶小舟。公正地说,质疑和批驳已经是非常高的尊重和敬意了。绝大多数人,只会不屑一顾地直接飘过。所以,我们最好还是能再多找一些其他的佐证。于是,我们想起了第一次数学危机中的“希帕索斯悖论”,那个无理数“根号2”。

除了1/9这样的“无限循环小数”,所有其他的有理数也都可以表示为“无限循环小数”的形式,只要在小数点后的末尾添加一个0的无限循环就行了。所以,所有的实数集只包含了两个部分:无限循环小数(有理数),和无限不循环小数(无理数)。

仅仅依靠无限循环小数,已经可以独立解答世界的本质。但为了让更多的人破除成见,让我们看看,无理数方面,是否能带来什么惊喜。

Peter五年级的时候,索师(索达吉堪布仁波切)来到我们家乡所在的城市。堪布的演讲,留下一个有趣的话题,引发了我和一位大学青年老师之间的一场激烈辩论。通过那段时间和他的邮件来往,我开始思考“离一多因”和极限问题的表达方式:我们能不能找到一种更加适合现代人群口味的表达方式?

这时候,Peter告诉我,他对极限思想也产生过兴趣。这就是上面提到的他和奥数老师的那次关于无理数的争论。

这如同一道闪电,瞬间照亮了探索的黑夜。我把Peter对于无理数的思考,总结为“Peter的第二证明”。

我们两个人当时的数学知识,加起来不会超过一个初三的学生。从那时候起,他一路继续成长,而我则始终只是一个数学盲。我们的数学证明,形式上应该是非常幼稚的。但是历史一再昭示,最原始的才是最深奥的。而数学的源头是哲理,不是定理。所以我们也不必太自卑,我的“数学盲”,也许恰恰是我得天独厚的优势,让我不用背负太多历史成见的包袱,可以鲁莽地单刀赴会,直取龙庭。

关键一点是:时间将证明,我们的数学证明,其启发意义,无疑是极为深刻的。

6

在我们开始“Peter的第二证明”之前,让我们先了解一下,人们是如何证明无理数存在的。据我从网上得到的浅薄的知识,基本上是用反证法:

    假设(√2)不是无理数,那么(√2)可以写成最简分数p/q. 其中,p和q 都是整数,而且互质。

∵(√2)∧2 = 2  (备注:∧2即2次方)

∴ (p/q)∧ 2 = p∧2 / q∧2 = 2

∴  2*q∧2=p∧2

又∵P是整数,∴p 是偶数,可以写成2m 的形式。

∴ 2 *q∧2= (2m)∧2= 4 m∧2

∴ q∧2 = 2* m∧2 (q和m都是整数)

∴q 也是偶数。

p,q,都是偶数,这个和最初的假设p,q互质,是矛盾的。

∴ (√2)不是有理数。这也就证明了至少存在一个以上的无理数。

以上是比较经典的证明无理数的方法。

现在,让我们来看看,在看似玩笑的Peter第二证明中,是如何论证“无理数不存在”的。

2 可以写成 2.000000000… 总之,末尾是0。按照平方数的规律,平方数的末尾是0,则平方根的末尾也一定是0。所以,√2的末尾,一定会出现0。而一旦出现0的末尾,即意味着不再无限循环。所以,无理数不存在。

这个证明的一个增强版或者补充说明是:

(1)2 可以写成2.0000000… 末尾是任意个0,只要你愿意。

(2)按照平方数的规律,平方数末尾有2n个0,则平方根的末尾就一定有n 个0。

(3)所以,√2的末尾,可以是任意个0,只要你愿意。换句话说,√2 的

末尾,一定是0的无限循环。记作:√2= 1.....(0);所以,√2不是无理数。

这也从另外一个角度证明了:无限不循环小数,末尾一定是很多0。所以,

√2不是无理数。

~Over!非常漂亮而且简洁明了的证明!

无理数家族还有一个最著名的成员,就是那个大名鼎鼎的圆周率∏。它在各个古代传统文明中,有着极其微妙和重要的地位,很多时候人们对它的兴趣几乎到了“宗教崇拜”的地步。虽然它的小数点后多少位,在生活中完全可以忽略不计,但很多智者还是孜孜以求地追寻它在小数点后的那串看不到尽头的足迹。中国古代甚至流传这一首“纪念”这串足迹的打油诗:“山顶一寺一壶酒……”。

世界各个角落的古代文明,不约而同地如此痴迷这个奇妙的pi(∏),这里面究竟透露着宇宙的什么秘密?

好吧,我们把好奇心先放一放。眼下的首要任务,是看看Peter如何证明pi(∏)不是一个真实的无理数。

证明方案是Peter在一次早晨上学的路上琢磨出来的。他那阵子被我稍微一炫,亢奋地停不下脚步。

这一证明,可以作为Peter第二证明的一个补充。

∏ 可以写成:(∏* 10 ∧n) / (10∧n)(备注:∧n 即n次方的意思)

其中,n趋向于无穷大∞。也就是说,∏有多少位小数位,n就相应是多少。

于是:分子(∏* 10∧n)是一个整数,而分母10 ∧n 也是一个整数。两个整数的比,不是无理数。

所以,∏也不是无理数。

~Over!非常漂亮,简洁明了!

这些看似极其幼稚的证明,一定会贻笑大方。人们肯定可以找到各自最基本的定义来嘲笑它。但问题的关键是,大自然最大奥秘一定藏在极限里。而我们解开这个奥秘的前提,就是丢掉所有的前提、假设、公理等等限制,敞开心胸接纳一切极限的情况。

Peter第二证明的奥妙之处,就在于它打破了人们对一些数学基本概念的定义的局限,把极限情况作为一个特例,放进了考虑之中。这和经典力学是广义相对论的一个特例,而广义相对论的奥秘只有在经典力学的极限条件下才会彰显,是同一个道理。

人们有太多的成见,为自然科学的探索之路设置了很多栅栏。人们对此已经熟视无睹,觉得理所当然。

Peter第二证明的神奇之处,就在于一个刚接触数字世界的小学生,还没有来得及学会规避那些栅栏,还没有来得及学会尊重那些数学的禁忌。一个五年级小学生,拥有的只有毫无禁忌的好奇心。这正是Peter一眼看见事情本质的原因。

有趣的是,在很多证悟者的道歌中,都提到过:宇宙人生的奥秘,即心的本来面目,是如此令人惊异地简单和显而易见。我们却从无始以来一直被蒙蔽。也许,走进心性本面的那一天,我们的心态也会单纯简单地就像一个一无所知的小学生。

7

在以上关于无理数不存在的论证中,我们同样可以推演出Peter第一证明的那个结论:Δx = 0 并且 Δx≠ 0

推演的办法是这样的:

(1)由无理数无限不循环的概念得出,在无理数的小数点后不断无限延伸的末梢,永远可以长出新的“小尾巴”。所以,这个末梢的“小尾巴”其实可以视作一个类似微分的增量。在有限的条件下,它可能比微分Δx稍微大一点点。但是考虑到无理数定义的无限性,它其实就是微分Δx。

(2)又因为,在上述Peter对于“根号2”或“pi(∏)”的分析中,它们都可以改写为末尾带有无限个0的情况。所以,它的末尾截取下来,值为0。

(3)既然上面两种情况都有成立的理由,所以,Δx=0

(4)于此同时,作为增量的定义,Δx≠ 0

(5)于是,我们得到了Δx = 0 并且 Δx≠ 0

这就是完整的Peter第二证明。它有两个部分:首先证明无理数并不真正存在;其次,由传统数学自己的认识,通过打破限制,加上一些极限情况,我们推演出Peter定理(零非零二相性):Δx = 0 并且 Δx≠ 0

   通过截取无理数的末梢,我们甚至可以再一次得到那个衍生公式:0=1。此处不再详述。

这些推演步骤,看似极其幼稚和牵强,简直就不值得一驳。但其实,如果你能够敞开心胸,不对任何极限条件设立障碍的话,并且仔细推敲这些推演步骤中隐含的道理的话,你一定会越来越惊讶于它们的意味深长。不信,你试试看?

OK,一个看似循环定义而且牵强,但其实意味深长的Peter第二证明收官!

在前两个Peter证明中,我们都涉及到无穷小是否真实精确存在的课题。人们会说,无穷小(极限)是一个变量,不是一个不变量。你怎么能够如此生搬硬套呢?我们可以“授记”,这就是将来的所有质疑者和批驳者最有力的武器。

对此,我们如何回复呢?其奥妙之处在于:

如果极限(无穷小)根本无法精确定位,这就意味着找不到一个真正的极限(无穷小)。它只能存身于我们的思维游戏中,是一个单纯的概念。而这其实正是我们所持的立场:世界如梦如幻。

但是,对于那些贪著“一合相”,努力寻找世界的基质的质疑者和批驳者而言,一定需要存在一个真实的“无穷小”的量。否则,物质世界就成了虚无缥缈的海市蜃楼了。

这些人,一方面不肯面对世界的虚幻性,认为肯定存在着一个实实在在的最小基质;一方面又假道伐虢,打着“无穷量无法精确定位”的旗帜,其实是盗用了我们的立场“物质世界的基质找不到”,来对我们的立论提出驳斥。这难道不是很可笑吗?

8

在那段日子里,Peter的兴奋让我有点担心,怕这么小的孩子“走火入魔”。但他的兴奋得到了最丰硕的回报。他在琢磨圆周率∏的时候,发现了圆的一个为人忽视几千年的最重要特性。历史上,还从来没有人提及过这一点。

这一次,他的无知大胆,毫无禁忌,再次起到了关键作用。我把这一发现的过程,称为Peter的第三证明。也是Peter证明中最绚丽和灿烂的一次灵感。

它更像一次对数学最源头的重新审视和重新定义,而不是一次有针对性的数学证明。但是,为了和前面呼应,我们依然称之为“Peter的第三证明”。

在Peter的第三证明开始前,首先,我们需要非常清晰地强调一下一个事实:圆周率∏的定义。

对,∏=圆周/直径!没有任何附加条件。

下面是Peter的第三证明。Peter发现:

当一个圆无限放大时,即演化出无数更大的同心圆的时候,圆周和直径始终保持一个常数关系,即圆周率∏。

反之,当一个圆无限收缩,即收缩为无数更小的同心圆的时候,圆周率和直径依然始终保持一个常数关系,即圆周率∏。

但是,在极限情况下,这情况发生了奇妙的转变。当圆无限缩小,到达一个

极限,即到达圆心的时候,同心圆坍缩为一个点。这时候,圆周等于直径,但是不为零,∏值瞬间衰变为1。

事情还没有结束。最伟大的发现,隐藏在跳跃性的最后一步。

Peter毕竟只是一个小学生,他虽然已经想到了圆心既可以等于1,也可以取0的值。但是,没有任何佛法知识的他,自己也觉得过于荒谬,便忽略了这最有价值、最为辉煌的最后一跃。所以,这一思想的最后冲刺,由我接棒完成:

当同心圆收缩成的这个点足够小,小到没有任何体积的时候,∏值体现出它的双重性格:∏=0或者1。(圆周/直径,圆周等于直径的原因,圆周率=1;而分子为零的原因,圆周率=0。)

我们再次得到了那个看似“荒谬”的结果,即Peter定理的衍生公式: 0=1。

奇妙的事情还在后面。在上述圆心的最极限情况下:

圆周/直径=0/0

0/0=?

为了highlight一下,凸显此处的重要性,让读者不要轻易滑过,我在此借用一句香港人的“潮”语:“零除以零,点解?”它有三个解:0 或者1 或者“无穷大”。

事实上,它不止是三个解。它有无穷多个解。而Peter定理(零非零二相性)也自然而然隐含在其中:Δx = 0 并且 Δx≠ 0。通过同心圆的圆心,Peter定理和它的衍生公式0=1之间的天然血缘关系,便昭然若揭,不言自明。

事实上,它(指圆周/直径=0/0)蕴含着从0到1到无穷的无限可能性。我们不由想起弦理论中的一个有趣现象:在多维世界里,一道简单的数学题,可以有数十亿个解。

从同心圆,到值为1的圆心点,我们收获了近乎于无穷的可能性,因为所有一个圆周上的所有点,都可以在一个点中找到对应关系。同心圆就像展开的二维世界,而圆心点就像把这个二维世界蜷缩在了一个一维的点里。

从值为1的圆心点,进而跃入虚空般的0圆心,我们忽然拥抱了整个无边无垠的浩淼无尽的所有面向,所有可能性,所有维度和苍穹。这正是法王如意宝的上师托嘎如意宝在梦境中赐予法王如意宝的那句关于空性的教言,“一切皆不成立之中,一切皆有可能。”

在这项工作中,Peter最大的贡献,是把圆的定义的所有限制都取消,将圆点作为一个圆的极限情况考虑了进来。

而我所做的,就是把人们对于0不能作为分母的限制取消。为了得到宇宙的奥秘,我们必须敞开心胸,取消所有人为的假设,以接纳所有的极限条件。

这个看似“荒谬”的结果,其实并不荒谬。在上面提到的《刨根问底2:一切皆归于心》等文章中,您将看到,大自然是如此神奇美妙:零就是一,一就是零;多就是一,一就是多;多就是零,零就是多。它真正的涵义就是:梦幻世界!

在藏地著名的《密勒日巴尊者歌集》中有一个故事,讲的是密勒日巴如何调伏他的弟子惹琼巴的傲慢心的。其中有一个有趣的情节:密勒日巴带着惹琼巴在草原上旅行,天上下起了大雨,惹琼巴被淋得全身湿透,却发现尊者不见了。他四处寻找,最后在地上找到一个牛角。他向牛角中张望,发现密勒日巴尊者就在牛角里躲雨。

故事写到此处,说:惹琼巴发现,牛角并没有变大,而密勒日巴尊者也并没有变小,但是密勒日巴尊者确实就藏在了牛角里,而且还相当宽敞。

这种奇妙的超越我们二元思维的境界,在一些著名的禅诗中也会如闪电般灵光一现,只有真正的证悟者才能真正了达它的意境。如一句非常著名的禅诗说,“空手把锄头,步行骑水牛,人在桥上走,桥流水不流。”它真实的意趣,就是超越了一切相对、一切观待、一切二元思维的不可思议的证悟者境界。

在《华严经》中,亦有那句几乎家喻户晓的著名偈颂,讲述了诸佛菩萨的现观庄严境界:“一尘中有尘数刹,一一刹有难思佛。”

9

    通过以上“非常严格”的数学演算,我们得到了无穷小等于0的结果。

对“非常严格”加双引号,是因为我的数学知识几乎等于空白。为了探讨此次的话题,我才从临时到网上搜索了一点资料。我的数学知识,除了最原始的直觉和经验,只有这么多。

对“非常严格”加双引号的另一个目的,是为了安抚一下太多“专业人士”有可能的躁动,让他们能稍微心平气和地采取一种有建设性的心态,对其中隐含的深意进行思考。

我们这里的证明,其形式也许是很幼稚的,但是其启发意义一定是极为深刻的。而且,虽然看似幼稚,却无法推翻。值得细细咀嚼喔。

在以上多角度充分证明了Δx=0的同时,如果你对Δx≠0还存有疑惑,觉得这是一个错误假设的双重循环。那么,就让我们用一个非常简洁而且严格的数学常识来做一个了断。

∵ 常识中,1≠0,1=无穷小/无穷小,

∴ 无穷小≠0

用Δx表示无穷小,即:

∵ 1≠0,1=Δx/Δx

∴ Δx≠0

现在,通过严格的数学方式,我们得到了微积分隐含的那个假设:Δx = 0 并且 Δx≠ 0。

在牛顿和莱布尼茨手上,它是一个“不招人待见的私生子”,一个具有矛盾的假设,是为了应用的方便而无奈引入的。虽然在应用中取得了巨大的成功,但是,就像一个没有出生证的“黑户”,它的身份始终受到人们的质疑。

现在,它已经被证实不是私生子,更加不是假冒的骗子,它是有着最纯正血统的数学王国的嫡系传承子弟。而且,是整个王国的希望所在。

接下来的事,是如何揭示它内在的合理性和深刻涵义。

(未完待续)

树立无畏前译教法幢,教法证法胜鼓传诸方。

理智之道狮吼遍三界,无等吉祥光芒照十方。

参考目录之一:

缘起性空(一,二,三)慈诚罗珠堪布讲解 : http://m.ximalaya.com/16332033/sound/8457116?from=timeline&isappinstalled=0]